El Calculo en nuestras vidas!: diciembre 2010

Actividad 1

Nombre

Enunciado

(La regla de derivación expresada en palabras)

Función

(Es una generalización)

Función derivada

Ejemplo

Función

Derivada

Planificación y argumentación

Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero.

y = k

y’ = 0

y=ln(2)

y’ =0

Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero.

Derivada de una potencia

(exponente un número real)

La derivada de una potencia es el valor del exponente multiplicando a la variable elevada al exponente menos la unidad

y = xⁿ

y’ = n x^n-1

Y= x^3

Y’=3x2

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta uno.

Derivada de una constante por una función

La derivada de una constante por una función es la misma constante por la derivada de la función.

y=k f(x)

Y’= k f’(x)

Y= 6x^4

Y’=6.4x^3

Y’=24x^3

Estudio las características de la función, si es el producto de una constante por una función, derivo la función y la multiplico por la misma constante.

Derivada de una suma de funciones

La derivada de una suma (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas

Y= f(x)+/-g(x)

Y’= f’(x)+/-g’(x)

y = 3+2x⁵

y’=0+10x⁴

y’= 10x⁴

Se observa la función, se confirma que sea una suma o diferencia de funciones y se deriva cada función y se deja sumando o restando, al final si se puede simplificar o agrupar se hace.

Derivada de un producto de funciones

La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar

Y=f(x)g(x)

Y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

Y’=(x^2+5)(x^3)

Y’=(x^2+5)’(x^3)+(x^2+5)(x^3)’

Y’=(2x)(x^3)+(x^2+5)(3x)

Y’=2x^4+3x^3+15x

Se observa cual es la primera función y cual es la segunda. Se coloca la derivada de la primera por la segunda original, sumando a la primera original por la derivada de la segunda. Se resuelve la derivación y se simplifica

Derivada de un cociente

de funciones

La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado

Y= f(x)

g(x)

Y’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) g(x)^2

$h(x)=\frac{3x+1}{2x}$

$h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}$
$h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}$

Se analiza la función. Se identifica la función que esta en el numerador y la que esta en el denominador. Se escribe la derivada del numerador por el denominador y se le resta el numerador por la derivada del denominador, y se divide todo entre el denominador elevado al cuadrado. Es recomendable no desarrollar el denominador.

Derivada de logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a uno entre x. La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función dividida entre dicha función.

Y= ln(x)

Y=ln(u)

Y’=1

Y’=u’

Se identifica que tipo de logaritmo es. Si la función es el logaritmo neperiano de x, para derivar se coloca uno entre x. Y si es el logaritmo neperiano de una función se derivada la función y se divide entre la misma función sin derivar.

Derivada de exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.

Y=e^x

Y= a^x

Y=a^u

Y’=e^x

Y’=a^x.lna

Y’=u’.a^u.lna

f(x)= 3^x

f’(x)=3^x.ln3

Se estudia la función para ver que tipo de exponencial es. Si es e^x la derivada es la misma expresión. Si es a^x se coloca la misma expresión multiplicando al logaritmo neperiano de la base. Finalmente si es del tipo a^u, se escribe la derivada del exponente por la expresión original por el logaritmo neperiano de la base.

Función trigonométrica	Derivada
y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x)	Y’=-sen(x) Y’=cos(x) Y’=sec^2(x) Y’=-csc^2(x) Y’=sec(x).tag(x) Y’=-csc(x).cotg(x)

Una vez completado el cuadro, responde:

· Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?

Lo primero que se debe hacer es observar y estudiar la función para determinar en caso nos encontramos y de esta manera aplicar la regla apropiada

· ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?

No, porque no todas las funciones son iguales y cada una tiene sus características

· ¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué?

Si, ya que existen funciones que dependiendo de cómo se vean y se observen pueden tener más de una manera de resolverlas

ACTIVIDAD 2

Planifica tu propia estrategia para derivar funciones. Para ello, formula preguntas que debes responder antes de derivar, mientras derivas y después que derivas cualquier función.