El Calculo en nuestras vidas!: noviembre 2010

TEMA

La Hipérbola

DEFINICIÓN

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

ELEMENTOS

En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

F F y F’, focos.
· V y V’, vértices.
· L, eje focal.
· VV’, eje transverso.
· C, centro.
· L’, eje normal.
· AA’, eje conjugado.
· CF, lado recto.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectoresdel punto.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede

considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA

La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es

Para pasar a la general:

- Se saca mínimo común múltiplo

- Se iguala la ecuación a cero

- Se desarrollan los productos notables

Ejem:

Pasar a la forma general [(Ax²+By²+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria

, correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)²-9(y+3)²=36

4(x²-4x+4)-9(y²+6y+9)=36

4x²-16x+16-9y²-54y-81=36

4x²-9y²-16x-54y-101=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x²-9y²-16x-54y-101=0

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

Sea una ecuación de la forma Ax²+ By²+ Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola.

Ejemplo de como pasar de la forma general a la canónica:

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x²- 9y² - 8x + 36y + 4 = 0.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x²- 8x) - (9y²- 36y) + 4 = 0

4(x²- 2x) - 9(y²- 4y) + 4 = 0

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x²- 2x = x² - 2 · 1x + 1²- 1²= (x - 1)²- 1

y²- 4y = y²- 2 · 2y + 2²- 2²= (y - 2)²- 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)²- 4 - 9(y - 2)²+ 36 + 4 = 0

4(x - 1)²- 9(y - 2)²= 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

Tipos:

Las hipérbolas    son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes.
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,  se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0,  se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0,  se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0,  se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, 3) .