El Calculo en nuestras vidas!: 2010

Actividad 1

Nombre

Enunciado

(La regla de derivación expresada en palabras)

Función

(Es una generalización)

Función derivada

Ejemplo

Función

Derivada

Planificación y argumentación

Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero.

y = k

y’ = 0

y=ln(2)

y’ =0

Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero.

Derivada de una potencia

(exponente un número real)

La derivada de una potencia es el valor del exponente multiplicando a la variable elevada al exponente menos la unidad

y = xⁿ

y’ = n x^n-1

Y= x^3

Y’=3x2

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta uno.

Derivada de una constante por una función

La derivada de una constante por una función es la misma constante por la derivada de la función.

y=k f(x)

Y’= k f’(x)

Y= 6x^4

Y’=6.4x^3

Y’=24x^3

Estudio las características de la función, si es el producto de una constante por una función, derivo la función y la multiplico por la misma constante.

Derivada de una suma de funciones

La derivada de una suma (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas

Y= f(x)+/-g(x)

Y’= f’(x)+/-g’(x)

y = 3+2x⁵

y’=0+10x⁴

y’= 10x⁴

Se observa la función, se confirma que sea una suma o diferencia de funciones y se deriva cada función y se deja sumando o restando, al final si se puede simplificar o agrupar se hace.

Derivada de un producto de funciones

La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar

Y=f(x)g(x)

Y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

Y’=(x^2+5)(x^3)

Y’=(x^2+5)’(x^3)+(x^2+5)(x^3)’

Y’=(2x)(x^3)+(x^2+5)(3x)

Y’=2x^4+3x^3+15x

Se observa cual es la primera función y cual es la segunda. Se coloca la derivada de la primera por la segunda original, sumando a la primera original por la derivada de la segunda. Se resuelve la derivación y se simplifica

Derivada de un cociente

de funciones

La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado

Y= f(x)

g(x)

Y’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) g(x)^2

$h(x)=\frac{3x+1}{2x}$

$h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}$
$h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}$

Se analiza la función. Se identifica la función que esta en el numerador y la que esta en el denominador. Se escribe la derivada del numerador por el denominador y se le resta el numerador por la derivada del denominador, y se divide todo entre el denominador elevado al cuadrado. Es recomendable no desarrollar el denominador.

Derivada de logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a uno entre x. La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función dividida entre dicha función.

Y= ln(x)

Y=ln(u)

Y’=1

Y’=u’

Se identifica que tipo de logaritmo es. Si la función es el logaritmo neperiano de x, para derivar se coloca uno entre x. Y si es el logaritmo neperiano de una función se derivada la función y se divide entre la misma función sin derivar.

Derivada de exponencial

La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.

Y=e^x

Y= a^x

Y=a^u

Y’=e^x

Y’=a^x.lna

Y’=u’.a^u.lna

f(x)= 3^x

f’(x)=3^x.ln3

Se estudia la función para ver que tipo de exponencial es. Si es e^x la derivada es la misma expresión. Si es a^x se coloca la misma expresión multiplicando al logaritmo neperiano de la base. Finalmente si es del tipo a^u, se escribe la derivada del exponente por la expresión original por el logaritmo neperiano de la base.

Función trigonométrica	Derivada
y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x)	Y’=-sen(x) Y’=cos(x) Y’=sec^2(x) Y’=-csc^2(x) Y’=sec(x).tag(x) Y’=-csc(x).cotg(x)

Una vez completado el cuadro, responde:

· Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?

Lo primero que se debe hacer es observar y estudiar la función para determinar en caso nos encontramos y de esta manera aplicar la regla apropiada

· ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?

No, porque no todas las funciones son iguales y cada una tiene sus características

· ¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes?. ¿Por qué?

Si, ya que existen funciones que dependiendo de cómo se vean y se observen pueden tener más de una manera de resolverlas

ACTIVIDAD 2

Planifica tu propia estrategia para derivar funciones. Para ello, formula preguntas que debes responder antes de derivar, mientras derivas y después que derivas cualquier función.

Antes de derivar:

¿Que tipo de función es?

¿Puede escribirse de alguna otra manera?

¿Que tipo de regla(s) de derivación puedo implementar para resolverla?

Mientras derivo:

Aplicar la regla o reglas de derivación que corresponda

Después de derivar:

¿Puedo reorganizar la expresión?

¿Hay algo que pueda simplificar o agrupar?

Revisar el resultado

Bibliografia:

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/Derivadas%20de%20funciones%20logaritmo.htm

http://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

http://www.ditutor.com/derivadas/derivada_exponencial.html

TEMA

La Hipérbola

DEFINICIÓN

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

ELEMENTOS

En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:

F F y F’, focos.
· V y V’, vértices.
· L, eje focal.
· VV’, eje transverso.
· C, centro.
· L’, eje normal.
· AA’, eje conjugado.
· CF, lado recto.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectoresdel punto.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede

considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA

La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es

Para pasar a la general:

- Se saca mínimo común múltiplo

- Se iguala la ecuación a cero

- Se desarrollan los productos notables

Ejem:

Pasar a la forma general [(Ax²+By²+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria

, correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)²-9(y+3)²=36

4(x²-4x+4)-9(y²+6y+9)=36

4x²-16x+16-9y²-54y-81=36

4x²-9y²-16x-54y-101=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x²-9y²-16x-54y-101=0

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

Sea una ecuación de la forma Ax²+ By²+ Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola.

Ejemplo de como pasar de la forma general a la canónica:

Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x²- 9y² - 8x + 36y + 4 = 0.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x²- 8x) - (9y²- 36y) + 4 = 0

4(x²- 2x) - 9(y²- 4y) + 4 = 0

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x²- 2x = x² - 2 · 1x + 1²- 1²= (x - 1)²- 1

y²- 4y = y²- 2 · 2y + 2²- 2²= (y - 2)²- 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)²- 4 - 9(y - 2)²+ 36 + 4 = 0

4(x - 1)²- 9(y - 2)²= 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

Tipos:

Las hipérbolas    son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes.
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,  se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0,  se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0,  se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0,  se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, 3) .